如果公安機關不立案，私人尋找失蹤人員可以采取以下合法途徑：

1. 聯系親友：通知失蹤人員的親朋好友，請求他們提供可能的線索或協助尋找。
2. 利用社交媒體：在社交媒體平臺上發布尋人啟事，附上失蹤人員的照片和相關信息，請求網友幫助轉發和提供線索。
3. 發布尋人啟事：在公共場所如社區公告板、超市、學校等地方張貼尋人啟事，擴大尋找的范圍。
4. 咨詢專業律師：獲取法律咨詢，了解在不立案的情況下如何合法有效地尋找失蹤人員。
5. 使用公開信息查詢：如果失蹤人員是做生意的，可以通過國家企業信用信息公示系統查詢其企業信息，或者通過其他公開信息平臺嘗試獲取線索。
6. 報警并請求協助：即使不立案，也可以向警方提供失蹤人員的信息，請求警方在日常工作中有意識地協助尋找。
7. 上傳失蹤人員信息至失蹤人口檔案庫：將失蹤人員的詳細信息上傳到中國失蹤人口檔案庫，利用該平臺的資源和網絡進行尋找。
8. 保持耐心和積極溝通：尋找失蹤人員可能需要時間，保持耐心并與所有可能提供幫助的個人和機構保持溝通。

在采取上述措施時，應始終遵守相關法律法規，尊重他人的隱私權，避免采取任何可能侵犯他人權益的行為。同時，保持與警方的聯系，以便在有新線索或情況變化時能夠及時響應。